[백준] 2616번 소형기관차

2616 소형기관차

문제

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기차는 맨 앞에 있는 기관차 1대가 손님이 탄 객차 여러 칸을 끌고 간다. 기관차가 고장나면 기차를 운행할 수 없게 되므로 최근 철도청은 기관차 고장에 대비하여 몇몇 역에 소형 기관차 3대를 배치하기로 결정하였다. 소형 기관차는 평소에 이용하는 기관차보다 훨씬 적은 수의 객차만을 끌 수 있다.

기관차가 고장났을 때 끌고 가던 객차 모두를 소형 기관차 3대가 나누어 끌 수 없기 때문에, 소형 기관차들이 어떤 객차들을 끌고 가는 것이 좋을까하는 문제를 고민하다가 다음과 같이 하기로 결정하였다.

1. 소형 기관차가 최대로 끌 수 있는 객차의 수를 미리 정해 놓고, 그보다 많은 수의 객차를 절대로 끌게 하지 않는다. 3대의 소형 기관차가 최대로 끌 수 있는 객차의 수는 서로 같다.

2. 소형 기관차 3대를 이용하여 최대한 많은 손님을 목적지까지 운송하도록 한다. 각 객차 마다 타고 있는 손님의 수는 미리 알고 있고, 다른 객차로 손님들이 이동하는 것은 허용하지 않는다.

3. 각 소형 기관차는 번호가 연속적으로 이어진 객차를 끌게 한다. 객차는 기관차 바로 뒤에 있는 객차부터 시작하여 1번 부터 차례로 번호가 붙어있다.

예를 들어 기관차가 끌고 가던 객차가 7칸이고, 소형 기관차 1대가 최대로 끌 수 있는 객차 수는 2칸이라고 하자. 그리고 1번 부터 7번까지 각 객차에 타고 있는 손님의 수가 아래 표와 같다고 하자. 괄호속에 있는 숫자는 객차 번호를 나타낸다.

소형 기관차 3대는 각각 1-2번, 3-4번, 그리고 6-7번 객차를 끌고 가면 손님 240명을 운송할 수 있고, 이보다 많은 수의 손님을 운송할 수 없다.

기관차가 끌고 가던 객차의 수와 각 객차에 타고 있던 손님의 수, 그리고 소형 기관차가 최대로 끌수 있는 객차의 수가 주어질 때, 소형 기관차 3대를 이용하여 최대로 운송할 수 있는 손님 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

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첫째 줄에 기관차가 끌고 가던 객차의 수가 입력된다. 그 수는 50,000 이하이다. 둘째 줄에는 기관차가 끌고 가던 객차에 타고 있는 손님의 수가 1번 객차부터 차례로 입력된다. 한 객차에 타고 있는 손님의 수는 100명 이하이고, 입력되는 숫자들 사이에 빈칸이 하나씩 있다. 셋째 줄에는 소형 기관차가 최대로 끌 수 있는 객차의 수가 입력된다. 그 수는 기관차가 끌고 가던 객차 수의 1/3보다 적다.

출력

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한 줄에 소형 기관차 3대를 이용하여 최대로 운송할 수 있는 손님 수를 출력한다.

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풀이)

dp를 이용해서 푸는 문제이다.

먼저 각 객차의 탈 수 있는 승객 수를 계속해서 더해놔야한다.

int arr[i] // i번째 전까지의 총 승객 수 + i번째 승객 수

이를 먼저 해놔야, 나중에 객차들 사이의 승객 합을 쉽게 구할 수 있다.

(예를 들어 객차 4번째부터 6번째 까지의 승객 수 합을 구할 시 => arr[6] - arr[4])

소형기관차 3대를 이용해 손님 수를 구할 수 있는 dp 점화식은

int dp[i][j] // i번째 소형 기관차가 객차 j번째까지 보았을 때, 최대로 운송할 수 있는 승객 수

m을 소형 기관차가 최대로 끌 수 있는 객차의 수라고 할 때

dp[i][j] = max(dp[i][j-1], dp[i-1][j-m] + (arr[j] - arr[j-m])) 이다.

dp[i][j-1]는 j번째 객차를 선택하지 않았을 경우, 이전 객차까지 최대 승객 수

dp[1][j-m] + (arr[j] - arr[j-m])은 j번째 객차를 선택했을 경우, 현재 객차를 포함

       -> i-1번째 소형기관차가 객차 j-m번째까지 보았을 때 최대 승객 수 + 객차 j-m ~ j 까지의 승객 합

따라서

정답은 dp[3][N]

예시)

문제의 예시 입력을 표로 나타내보았다.

객차 번호 j	1	2	3	4	5	6	7
손님	35	40	50	10	30	45	60
arr	35	35+40 = 75	75+50 = 125	135	165	210	270
dp[1][j]	0	max(0, 0 +(75-0)) = 75	max(75, 0 +(125-35)) = 90	max(90, 0 +(135-75)) = 90	max(90, 0 + (165-125)) = 90	max(90, 0 + (210-135)) = 90	max(90 ,0 + (270-165)) = 105
dp[2][j]	0	0	0	max(0, 75 +(135-75))=135	max(135, 90 +(165-125))=135	max(135, 90 +(210-135))=165	max(165, 90 +(270-165))=195
dp[3][j]	0	0	0	0	0	max(0, 135 +(210-135)) = 210	max(210, 135 +(270-165)) = 240

답 = 240

코드)

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
 
int n,m;
int arr[50001];//각 칸의 누적 승객 수 저장
int dp[4][50001];//dp[i][j] = i번째 소형기관차가 j번째 칸까지 고려했을때의 최대 승객 수 저장
 
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int temp = 0;
        scanf("%d", &temp);
        arr[i] = arr[i - 1] + temp;
    }
    scanf("%d", &m);
    for (int i = 1; i <= 3; i++) {
        for (int j = i * m; j <= n; j++) {
            dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - m] + (arr[j] - arr[j - m]));
        }
    }
    printf("%d", dp[3][n]);
    return 0;
}