피사노 주기

피보나치

- 개념 : F0 = 0 , F1 = 1일때 Fn = Fn-1 + Fn-2

- 구현 방법

 1. 재귀적 방법 : O(2^n)

 2. dp 방법 (= memoization 방법)  : O(n)

 3. 피사노 주기

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피사노 주기(Pisano period)

- 개념 : 피보나치 수를 어떤 수 K로 나눌 때, 나머지는 항상 주기를 가지게 되는데 이를 피사노 주기라고 한다.

 ex) 피보나치 수를 3으로 나누었을때, 주기의 길이는 8

N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Fn	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233	377	610
PP	0	1	1	2	0	2	2	1	0	1	1	2	0	2	2	1

- 성질 : 주기의 길이를 P라고 하면 N번째 피보나치 수를 M으로 나눈 나머지는

     N%P번째 피보나치 수를 M으로 나눈 나머지와 같다.

     주기는 M = 10^k (k>2)일때, 항상 15 * 10^(k-1)이다.

- 문제예시) 

[백준] 2749번 피보나치 수 3

문제

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피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.

이를 식으로 써보면 Fn = Fn-1 + Fn-2 (n>=2)가 된다.

n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597

n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

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첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

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첫째 줄에 n번째 피보나치 수를 1,000,000으로 나눈 나머지를 출력한다.

=> n의 범위가 크기 때문에, 피사노 주기를 사용해야 하는 문제이다.

이 문제에서 M = 1,000,000 = 10^6 이므로 주기는 15*10^5 = 1,500,000 이다.

따라서

주기의 길이가 1,500,000 이므로 N번째 피보나치 수를 1,000,000 으로 나눈 나머지는

N%1,500,000번째 피보나치 수를 1,000,000 으로 나눈 나머지와 같다.

예시 문제 풀이 코드)

#include <stdio.h>
using namespace std;
 
//long long 범위 9,223,372,036,854,775,807
int N;
const int M = 1000000;
const int P = 15 * (M / 10);
int arr[P];
 
int main() {
    
    scanf("%lld", &N);
 
    if (N == 0) printf("0");
    else if (N == 1) printf("1");
    else {
        arr[0] = 0;
        arr[1] = 1;
        for (int i = 2; i < P; i++) {
            arr[i] = (arr[i - 1] + arr[i - 2]) % M;
        }
        printf("%d", arr[N%P]);
    }
    return 0;
}